摘要： 已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，，离心率为.（1）若为椭圆上任意一点，且横坐标为，求证：；
（2）不经过和的直线与以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆相切，且与椭圆交于，两点，试判断的周长是
（1）由题意，可得
，又
，∴
，
，所以椭圆
；设
，则
.∵
，∴
.（2）记以坐标原点为圆心，短半轴为半径的圆的半径为
，则
，因为直线
与圆相切，所以圆心到直线距离为1，即
，∴
.设
，
，由
消去
，整理得
，则
，
，
，因此
；由（1）得
，
，所以
，因此
的周长为
；即
周长为定值4.【点睛】
本题主要考查椭圆的简单应用，考查求椭圆的方程，考查椭圆的弦长的求法，考查椭圆中的定值问题，属于常考题型.
