在椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(2b>a>b>0)上任取一点P(P不为长轴端点),连结PF₁,PF₂,并延长与椭圆C分别交于点A、B两点,已知△APF₂的周长为8,△F₁PF₂面积的最大值

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摘要: 在椭圆上任取一点P(P不为长轴端点),连结PF₁,PF₂,并延长与椭圆C分别交于点A、B两点,已知△APF₂的周长为8,△F₁PF₂面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设坐标原点为,当不是椭圆的顶
在椭圆上任取一点P(P不为长轴端点),连结PF₁,PF₂,并延长与椭圆C分别交于点A、B两点,已知△APF₂的周长为8,△F₁PF₂面积的最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设坐标原点为,当不是椭圆的顶点时,直线和直线的斜率之积是否为定值?若是定值,请求出这个定值;若不是定值,请说明理由.
【答案】(1);(2)是定值,值为.
【解析】
【分析】
(1)根据椭圆的定义,结合的周长为8,求出的值,设出点的坐标,结合三角形面积公式,椭圆的范围,面积的最大值为.可以求出的关系,进而求出的值,最后求出椭圆的方程;
(2)设出直线的方程与椭圆方程联立,利用解方程组,求出点坐标,同理求出的坐标,最后通过斜率公式,计算出直线和直线的斜率之积是定值.
【详解】
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