如图，已知圆C₁：(x-4)²+(y-2)²=20与y轴交于O，A两点，圆C2过O，A两点，且直线C2O恰与圆C1相切.（1）求圆C2的方程.

（2）存在，且为P（3，4）．
设直线OM的方程为：y=kx．
代入圆C₂的方程可得：（1+k²）x²+（2﹣4k）x=0．
x_M=，y_M=．
代入圆C₁的方程可得：（1+k²）x²﹣（8+4k）x=0．
x_N=，y_N=．
设P（x，y），线段MN的中点E．
则×k=﹣1，
化为：k（4﹣y）+（3﹣x）=0，
令4﹣y=3﹣x=0，解得x=3，y=4．
∴P（3，4）与k无关系．
∴在平面内是存在定点P（3，4）使得PM=PN始终成立．
点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.