摘要： 已知点A是椭圆的上顶点，斜率为 k(k>0) 的直线交椭圆E于A、M两点，点N在椭圆E上，且MA⊥NA；（Ⅰ）当时，求的面积；
（Ⅱ）当时，求证：．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由为椭
（Ⅰ）由对称性知点
、
的纵坐标相等，横坐标互为相反数，又
且
有△AMN为等腰直角三角形，即可知
，而
∴直线
的斜率为
，则直线
的方程为：
设点
其中
，有
，解得
∴
（Ⅱ）据题意，直线
，联立椭圆
，得：
，即：
则
，那么
；同理可得：
；由
，得：
，即：
令
，则
，所以
单调增，又
，
，故
存在唯一零点
，即
得证【点睛】
本题考查直线与椭圆的综合，三角形面积求法和由求导得函数的单调性，属于中难题．
