摘要： 在椭圆上任取一点P（P不为长轴端点），连结PF₁，PF₂，并延长与椭圆C分别交于点A、B两点，已知△APF₂的周长为8，△F₁PF₂面积的最大值为.（1）求椭圆C的方程；
（2）设坐标原点为，当不是椭圆的顶
（1）因为
的周长为8，所以有
设
，因为
面积的最大值为
.所以
的最大值为
，由椭圆的范围，当
时，面积最大，因此有
，而
，因为
，所以
，所以椭圆标准方程为：
；（2）当
不是椭圆的顶点时，因此
.直线
的方程为：
，与椭圆的方程联立，得：
，
，
，同理直线
的方程为：
，与椭圆的方程联立，得：
，
，
为定值.【点睛】
本题考查了椭圆的定义，考查了椭圆的范围，考查了求椭圆的标准方程，考查了通过直线与椭圆的位置关系判断两直线斜率之积为定值，考查了数学运算能力.
