摘要： 如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=3，BC=2，M，N分别在棱AA₁，A₁B₁上，满足A₁M=2AM，C₁N‖平面MCD₁N.（1）求线段A₁N的长度；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分
（1）求线段A₁N的长度；
（2）求二面角
的余弦值.【答案】（1）
；（2）
.【解析】
【分析】
（1）以
为原点，
，
，
分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系，设
，求出平面
的法向量
，由
，求得
，从而可得结果；（2）求出平面
的法向量，结合（1）利用空间向量夹角余弦公式可得结果.【详解】
（1）以
为原点，
，
，
分别为
，
，
轴建立空间直角坐标系.则
，
，
，
，
.设
，则
，
，
，
.设平面
的法向量
则由
，得
，取
，∵
，∴
.∴
.（2）由（1）得
，
，设平面
的法向量为
.则由
，得
，取
，∴
.∵二面角
是锐二面角，∴二面角
的余弦值是
.
【点睛】
本题主要考查利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
