摘要： 如图，在棱长为 1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是_______． 【答案】
【解析】
以为原点，，，所在直线分
以
为原点，
，
，
所在直线分别为
，
，
建系如图
则
，
，
，
，
.设
，则
的方向向量
设平面
的法向量，
，
，
，
，即
取
，则
若
平面
，则
即
，则
又
即
，
，
即
故答案为：
如图，在棱长为 1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若B₁P∥平面A₁BM，则C₁P长度的取值范围是_______．
摘要： 如图，在棱长为 1 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M是AD的中点，动点P在底面正方形ABCD内（不包括边界），若平面，则长度的取值范围是_______． 【答案】
【解析】
以为原点，，，所在直线分
以
为原点，，，所在直线分别为，，建系如图 则
，，，，.设
，则的方向向量设平面
的法向量，，，，，即取，则若
平面，则即
，则又
即
，，即故答案为：
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